Question

如图，点O是△ABC的内角平分线的交点，O′是△ABC的外角平分线的交点
求证：（1）∠AOB=90°+

1

2

∠C；
（2）∠AO′B=90°-

1

2

∠C．

Answer 1

分析：本题（1）可以根据三角形的内角和为180°以及角平分线的性质来计算．
（2）根据“三角形的外角等于与其不相邻的两内角和”和角平分线性质来证明．

解答：证明：（1）如图∵在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180°，
在△AOB中，∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°，
∵AO，BO分别是∠CAB和∠ABC的平分线，
∴∠CAB=2∠OAB，∠ABC=2∠OBA，
∴∠ABO+

1

2

∠CAB+

1

2

∠ABC=180°，
又∵在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180°
∴∠AOB=

1

2

∠C+90°；

证明：（2）O′是△ABC的外角平分线的交点，
则∠O′AB=

1

2

∠EAB=

1

2

（180°-∠CAB）=90°-

1

2

∠CAB，
∠ABO′=

1

2

∠ABF=90°-

1

2

∠CBA，
∴∠O′AB+∠ABO′=180°-

1

2

（∠CAB+∠CBA）
又∵∠CAB+∠CBA=180°-∠C，
∴∠O′AB+∠ABO′=90°+

1

2

∠C，
在△ABO′中利用内角和定理得到：
∠AO′B=180°-（∠O′AB+∠O′BA）=180°-（90°+

1

2

∠C）=90°-

1

2

∠C．

点评：本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．