Question

已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交与A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交与点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交与点D．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）若平行于x轴的直线与抛物线交于点M、N（M点在N点左侧），且MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径．
（3）若点M在第三象限，记MN与y轴的交点为点F，点C关于点F的对称点为点E．
①当线段MN=AB时，求tan∠CED的值；
②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C（0，-3），
∴c=-3，
对称轴为直线x=-=1，
∴b=-2，
∴抛物线的函数关系式y=x²-2x-3；

（2）设圆的半径为r，则直径MN=2r，
①当直线MN在x轴上方时，点N的坐标为（r+1，r），
代入抛物线解析式得，（r+1）²-2（r+1）-3=r，
整理得，r²-r-4=0，
解得r₁=，r₂=（舍去）；
②当直线MN在x轴下方时，（r+1）²-2（r+1）-3=-r，
整理得，r²+r-4=0，
解得r₃=，r₄=（舍去），
所以该圆的半径为或；

（3）①令y=0，则x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
∵MN=AB，
∴MN=×4=3，
根据二次函数的对称性，点N的横坐标为1+=，
代入二次函数解析式得，y=（）²-2×-3=-，
∴点N的坐标为（，-），
点F的纵坐标为-，
∵点C关于点F的对称点为E，-×2-（-3）=-，
∴点E的坐标为（0，-），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
x=1时，y=1-3=-2，
∴点D的坐标为（1，-2），
tan∠CED==；

②∵直线BC的解析式为y=x-3，
∴∠BCO=45°，
若∠CDE=90°，则△CDE是等腰直角三角形，
∴点F与点D纵坐标相同，为-2，
∴点M的纵坐标为-2，
代入二次函数y=x²-2x-3得，x²-2x-3=-2，
整理得，x²-2x-1=0，
解得x₁=1-，x₂=1+，
∵点M在第三象限，
∴点M的坐标为M（1-，-2）；
若∠CED=90°，则点E与点D的纵坐标相同，为-2，
∵点C关于点F的对称点为E，
∴点F的纵坐标为=-，
∴点M的纵坐标为-，
代入二次函数y=x²-2x-3得，x²-2x-3=-，
整理得，2x²-4x-1=0，
解得x₁=1+，x₂=1-，
∵点M在第三象限，
∴点M的坐标为M（1-，-），
综上所述，点M的坐标为（1-，-2）或（1-，-）．
分析：（1）把点C的坐标代入函数解析式求出c，再根据对称轴求出b，即可得解；
（2）设圆的半径为r，则MN=2r，再分直线MN在x轴上方与下方两种情况表示出点N的坐标，然后代入抛物线解析式计算即可求出r；
（3）①令y=0解关于x的一元二次方程求出点A、B的坐标，从而得到AB，再求出MN的长度，根据抛物线的对称性求出点N的横坐标，再代入抛物线解析式求出点N的纵坐标，即点F的纵坐标，再根据点的对称求出点E的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出点D的坐标，然后根据点D、E的坐标，利用锐角的正切的定义列式计算即可得解；
②根据直线BC的解析式可得∠BCO=45°，然后分∠CDE=90°时，△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，点F与点D的纵坐标相同，即为点M的纵坐标，然后代入抛物线解析式，计算即可得到点M的坐标；∠CED=90°时，点E与点D的纵坐标相同，根据对称性求出点F的纵坐标，即为点M的纵坐标，然后代入抛物线解析式，计算即可得到点M的坐标．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，直线与圆的位置关系，锐角三角函数的定义，点的对称，综合性较强，但难度不大，难点在于要分情况讨论．