Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，交AB的延长线于点E，连结AD．
（1）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．
（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接BO，AO，延长AO交BC于点F，
∴AF⊥BC，F为BC的中点，即BF=CF=BC=3，
∵AB=5，∴AF=4，
设圆O的半径为r，在Rt△OBF中，OF=AF-AO=4-r，OB=r，BF=3，
根据勾股定理得：r²=3²+（4-r）²，
解得：r=，
则圆O的半径为；

（2）当D为的中点时，DE是圆O的切线，理由为：
∵D为的中点，
∴AD⊥BC，AD过圆心，
∵DE∥BC，
∴AD⊥ED，
∴DE为圆O的切线．
分析：（1）连接BO，AO，延长AO交BC于点F，由等腰三角形的性质得到AF与BC垂直，且F为BC的中点，求出BF的长，在直角三角形ABF中，理由勾股定理求出AF的长，设圆O的半径为r，在直角三角形OBF中，由AF-AO表示出OF，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径长；
（2）当点D运动到弧BC中点时，DE是⊙O的切线，理由为：由D为弧BC中点，利用垂径定理的逆定理得到AD垂直于BC，且AD过圆心，由BC与DE平行，利用与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到AD与DE垂直，即可确定出DE为圆的切线．
点评：此题考查了切线的判定，涉及的知识有：垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．