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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，2），把Rt△AOB绕着点O顺时针旋转90。得到Rt△AOB，（点A旋转到点B的位置），抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点D，顶点为点P，对称轴为直线x=3，
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）联结BC，CP，PD，BD，求四边形PCBD的面积；
    （3）在抛物线上是否存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由。
    （1）由题意得：B(0，2)，C(2，0)，对称轴x=3 
            设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+k
            ∵抛物线抛物线经过B(0，2)，C(2，0)， 
           ∴
             解这个方程组得： 
             ∴a=，k=-
            ∴y= (x-3)2-
         ∴抛物线的解析式为y=x2- 
     （2）设对称轴与x轴的交点为N
         由图可知：CD=2
           S△BCD=CD·OB=×2×2=2      
        S△PCD= CD·PN= CD·︱Py︱=×2×=
         ∴S四边形PCBD= S△BCD+ S△PCD=2
    （3）假设存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
             即：S△MCD= S四边形PCBD 
             CD·︱My︱=×
                         ︱My︱=
           又∵点M在抛物线上， 
        
         ∴x2-6x+8=±3
         ∴x2-6x+5=0 或x2-6x+11=0
           由x2-6x+5=0，得x1=5，x2=1
           由x2-6x+11=0
          ∵ b2-4ac=36-44=-8<0 
         ∴此方程无实根。 
         当x1=5时，y1=；当x2=1时，y2=
     ∴存在一点M(5，)，或（1，）使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积。
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    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
    x
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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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