Question

如图，在DABC中，AB=AC=6，ÐB=30°，点O₁、O₂在BC上，⊙O₁与⊙O₂外切于P，⊙O₁与AB相切于点D，与AC相离，⊙O₂与AC相切于E，与AB相离。

（1）求证：DP∥AC；

（2）设⊙O₁的半径为x，⊙O₂的半径为y，求y与x的函数解析式，并写出定义域；

（3）DADP能否为上角三角形？如果能够，请求出⊙O₂的半径；如果不能，请说明理由。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）证明：连结O1D，∵ ⊙O1与AB相切于点D，∴ ÐBDO1=90°。∵ ÐB=30°，∴ ÐBO1D=60°。∵ O1D=O1P，∴ ÐDPO1=ÐPDO1。∵ ÐDO1P=ÐDPO1+ÐPDO1=2ÐDPO1，∴ ÐDPO1=30°。∵ AB=AC，∴ ÐC=ÐB=30°。∴ ÐDPO1=ÐC。∴ DP∥AC。 （2）解：连结O2E2，作AH^BC，垂足为H。 ∵ ⊙O2与AC相切于E，∴ ÐCEO2=90°。∵ÐC=30°，PO2=EO2=y，∴ CO2=2EO2=2y。同理：PO1=x，BO1=2x。在RtDABH中，BH=AB×cosB=6×cos60°=，∴ 。，∴ 函数解析式为。定义域。 （3）解：DADP能为直角三角形。当ÐDPA=90°时，∵ DP∥AC，∴ ÐPAC=90°，在RtDAPC中，。∴ ，∴ 。即⊙O2的半径为。当ÐDPC=90°时，在RtDABP中，同理可求得。 ∴ y。即⊙O2的半径为。由于ÐADO1< span lang=EN-US style='font-family:Symbol;mso-bidi-font-family:Symbol'>=90°，所以ÐADP不可能为90°，综上所述⊙O2的半径为或。