Question

如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0。

（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如图（2），设抛物线y=a（x-m-6）²+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值。

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°
由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE
在Rt△ABF中，BF=
∴FC=4
设FE=DE=x，
在Rt△ECF中，4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，CE=8-x=3
∵B（m，0），
∴E（m+10，3），F（m+6，0）。
（2）分三种情形讨论：
若AO=AF，
∵AB⊥OF，
∴OB=BF=6，
∴m=6
若FO=FA，则m+6=10，解得m=4
若OA=OF，在Rt△AOB中，
∴，解得m=
综上所述：m=6或4或。
（3）由（1）知A（m，8），E（m+10，3），
由题意得
解得
∴M（m+6，-1）
设抛物线的对称轴交AD于G
∴G（m+6，8），
∴AG=6，GM=9
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG
又∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG
∴
即
∴m=12。