Question

3．已知抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．
（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC、△BOC、△BCD的面积分别为S₁，S₂和S₃，求证：S₃=$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$；
（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用交点式写出抛物线的解析式，然后把解析式配成顶点式得到点D的坐标；
（2）如图，先确定C（0，-3），再利用两点间的距离公式计算出BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理证明△BCD为直角三角形，∠BCD=90°，然后根据三角形面积公式分别计算出S₁，S₂和S₃，从而得到结论；
（3）设点M的坐标为（m，0）（-1＜m＜3），则MA=m+1，AC=$\sqrt{10}$，利用MN∥BC得到AM：AB=AN：AC，利用比例性质得AN=$\frac{\sqrt{10}}{4}$（m+1），再证明△AMN∽△ACM，利用相似比得到（m+1）2=$\sqrt{10}$•$\frac{\sqrt{10}}{4}$（m+1），则解方程可得到m的值，从而得到M点的坐标，然后利用待定系数法求出BC的解析式，最后利用MN∥BC可求出直线MN的解析式．

解答 （1）解：抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3），
即y=x²-2x-3；
∵y=（x-1）²-4，
∴点D的坐标为（1，-4）；
（2）证明：如图，当x=0时，y=x²-2x-3=-3，则C（0，-3），
而A（-1，0），B（3，0），
∴CD=$\sqrt{{1}^{2}+（-3+4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0+4）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD为直角三角形，∠BCD=90°，
∴S₃=$\frac{1}{2}$CD•BC=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•3$\sqrt{2}$=3，
∵S₁=$\frac{1}{2}$•OA•OC=$\frac{1}{2}$•1•3=$\overline{2}$，S₂=$\frac{1}{2}$•OC•OB=$\frac{1}{2}$•3•3=$\frac{9}{2}$，
∴S₃=$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$；
（3）解：存在点M使∠AMN=∠ACM．
设点M的坐标为（m，0）（-1＜m＜3），则MA=m+1，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵MN∥BC，
∴AM：AB=AN：AC，即（m+1）：AN=4：$\sqrt{10}$，解得AN=$\frac{\sqrt{10}}{4}$（m+1），
∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，
∴△AMN∽△ACM，
∴AM：AC=AN：AM，即（m+1）2=$\sqrt{10}$•$\frac{\sqrt{10}}{4}$（m+1），
解得m₁=-1（舍去），m₂=$\frac{3}{2}$，
∴点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴BC的解析式为y=x-3，
又∵MN∥BC，
∴设直线MN的解析式为y=x+n，
把点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）代入得n=-$\frac{3}{2}$，
∴直线MN的解析式为y=x-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握待定系数法求二次函数和一次哦函数解析式；会求抛物线与x轴的交点坐标；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，记住三角形面积公式；会利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质计算线段的长．