Question

如图，直线y=-x+20与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动．动直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于E、F点．连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积．
（2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（3）设t的值分别取t₁、t₂时（t₁≠t₂），所对应的三角形分别为△AF₁P₁和△AF₂P₂．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．

Answer 1

解：设梯形OPFE的面积为S．（1）对于直线y=-x+20，当x=0时，y=20；当y=0时，x=20，
故A（20，0），B（0，20）；
∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°．
当t=1时，OE=1，AP=3，
∴OP=17，EF=BE=19．
∴S=（OP+EF）•OE=×（17+19）=18．

（2）OE=t，AP=3t，
∴OP=20-3t，EF=BE=20-t．
∴S=（OP+EF）•OE=（20-3t+20-t）•t=-2t²+20t=-2（t-5）²+50．
∴当t=5（在0＜t＜范围内）时，S_最大值=50．

（3）作FD⊥x轴于D，则四边形OEFD为矩形．
∴FD=OE=t，AF=FD=t．
又AP=3t，
当t=t₁时，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；当t=t₂时，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；
∴，又∠A=∠A，
∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂．
分析：（1）根据直线的性质，求出A、B两点的坐标，再根据点A的移动规律，得到AP的长，从而求出OP的长；
又因为EF=BE，用OB的长减去OE的长即可求出EF的长；从而利用梯形面积公式求出梯形OPFE面积．
（2）设OE=t，AP=3t，利用梯形面积公式，将梯形面积转化为关于t的二次函数表达式，求二次函数的最大值即可；
（3）作FD⊥x轴于D，则四边形OEFD为矩形．求出三角形各边的长度表达式，计算出对应边的比值，加上一个夹角相等，即可得到△AF₁P₁∽△AF₂P₂．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，同时结合了动点问题和二次函数的最值，综合性较强，是一道好题．