Question

如图①，矩形纸片ABCD的边长分别为a、b（a＜b），点M、N分别为边AD、BC上两点（点A、C除外），连接MN．
（1）如图②，分别沿ME、NF将MN两侧纸片折叠，使点A、C分别落在MN上的A′、C′处，直接写出ME与FN的位置关系；
（2）如图③，当MN⊥BC时，仍按（1）中的方式折叠，请求出四边形A′EBN与四边形C′FDM的周长（用含a的代数式表示），并判断四边形A′EBN与四边形C′FDM周长之间的数量关系；
（3）如图④，若对角线BD与MN交于点O，分别沿BM、DN将MN两侧纸片折叠，折叠后，点A、C恰好都落在点O处，并且得到的四边形BNDM是菱形，请你探索a、b之间的数量关系；
（4）在（3）情况下，当a=时，求菱形BNDM的面积．

Answer 1

解：（1）∵△A′EM是△AEM沿EM翻折而成，△NC′F是△NCF沿直线NF翻折而成，
∴△A′EM≌△AEM，△NC′F≌△NCF，
∴∠EMN=∠AMN，∠FNC′=∠MNC，
∵AD∥BC，
∴∠AMN=∠MNC，
∴∠EMN=∠FNC′，
∴ME∥FN；

（2）∵由折叠得知：A′E=AE，四边形A′EBN是矩形，
∴四边形A′EBN的周长=2（A′E+EB）=2（AE+EB）=2AB=2a，
同理，四边形C’FDM的周长=2a，
∴四边形A′EBN的周长=四边形C′FDM的周长；

（3）∵△OND是由△CND折叠得到的，
∴OD=CD=a，
同理，OB=a，
∴BD=2a
在△BCD中，∠C=90°，由勾股定理得，
BC²+CD²=BD²，
∴b²+a²=（2a）²
∴；

（4）当a=时，CD=，BC=3，
在菱形BNDM中，DN=BN，
设DN=BN=x，则CN=3-x．在△DCN中，∠C=90°，由勾股定理得，
NC²+CD²=ND²，
∴，
解得，x=2，
∴菱形BNDM的面积=．．
分析：（1）先根据翻折变换的性质得到∠EMN=∠AMN，∠FNC′=∠MNC，再由平行线的性质可得到∠AMN=∠MNC，由平行线的判定定理即可得到ME∥FN；
（2）由折叠得知：A′E=AE，根据四边形A′EBN是矩形，即可求出四边形A′EBN的即四边形C′FDM的周长；
（3）根据折叠的性质可知OD=CD=OB=a，在△BCD中利用勾股定理即可求出b的值；
（4）当a=时，CD=，BC=3，在菱形BNDM中，DN=BN，设DN=BN=x，则CN=3-x．在△DCN中利用勾股定理即可求出DN的长，利用菱形的面积公式即可求出答案．
点评：本题考查的是图形翻折变换的性质、平行线的判定与性质、矩形的性质、勾股定理及菱形的面积公式，涉及面较广，难度较大．