Question

如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，B，C，D三点共线，AD 与BE相交于点O，AD与CE交与点F，AC与BE交于点G．
（1）找出图中的一对全等三角形，并说明理由．
（2）求∠BOD的度数．
（3）连接GF，判断△CGF的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）△BCE≌△ACD
理由：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=∠BAC=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∵∠BCE=∠ACD．
在△BCE和△ACD中，

∴△BCE≌△ACD（SAS）；

（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠ADC=∠BEC．
∵∠AOB=∠EBC+∠ADC，
∴∠AOB=∠EBC+∠BEC=∠DCE=60°．
∵∠AOB+∠BOD=180°，
∴∠BOD=120°；

（3）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD．
∵∠BCA=∠ECD=60°
∴∠ACE=60°，
∴∠ACE=∠BCA．
在△BGC和△AFC中，
，
∴△BGC≌△AFC（ASA），
∴GC=FC．
∵∠GCF=60°，
∴△GFC是等边三角形．
分析：（1）通过观察图形，根据等边三角形的性质就可以证明△BCE≌△ACD；
（2）由（1）△BCE≌△ACD可以得出∠ADC=∠BEC，而有∠AOB=∠EBC+∠ADB，就有∠AOB=∠EBC+∠BEC=∠DCE=60°，从而可以求出∠BOD的值；
（3）通过证明△BGC≌△AFC就可以得出CG=CF，由∠ACE=60°，就可以得出△CGF是等边三角形．
点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是解答的关键．