Question

已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．
求证：AC⊥BH．

Answer 1

证明：连接AD，
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，
∴∠DAC=∠EBC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA）=180°-90°=90°，
∴AC⊥BH．
分析：连接AD，由圆周角定理可知∠DAC=∠DEC，再由∠EBC=∠DEC可得出∠DAC=∠EBC，根据AC是⊙O的直径，
知∠ADC=90°，故可得出∠EBC+∠DCA=90°，由三角形内角和定理得出∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA）=180°-90°=90°，故可得出结论．
点评：本题考查的是圆周角定理，在解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．