练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，点D是等边△ABC外一点，且DB=DC，∠BDC=120°，将一个三角尺60°的顶点放在点D上，三角尺的两边DP、DQ分别与射线AB、CA相交于E、F两点．
    （1）当EF∥BC时，如图①，证明：EF=BE+CF；
    （2）当三角尺绕点D旋转到如图②的位置时，线段EF、BE、CF之间的上述数量关系是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，写出EF、BE、CF之间的数量关系，并说明理由；
    （3）当三角尺绕点D继续旋转到如图③的位置时，（1）中的结论是否发生变化？如果不变化，直接写出结论；如果变化，请直接写出EF、BE、CF之间的数量关系．
    精英家教网精英家教网
    分析：（1）根据△ABC是等边三角形知道AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，而DB=DC，∠BDC=120°，这样可以得到△DCF和△BED
    是直角三角形，由于EF∥BC，可以证明△AEF是等边三角形，也可以证明△BDE≌△CDF，可以得到DE=DF，由此进一步得到
    DE=DF∠BDE=∠CDF=30°，这样可以得到BE=
    1
    2
    DE=
    1
    2
    DF=CF，而△DEF是等边三角形，所以题目的结论就可以证明出来了；
    （2）结论仍然成立．如图，在AB的延长线上取点F’，使BF’=CF，连接DF’，根据（1）的结论可以证明△DCF≌△DBF’，
    根据全等三角形的性质可以得到DF=DF’，∠BDF’=∠CDF，又∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得到：∠EDF’=∠CDF=60°，由此可以证明△EDF’≌△EDF，从而证明题目的结论．
    （3）结论发生变化．EF=BE-CF．
    解答：解：如图，点D是等边△ABC外一点，且DB=DC，∠BDC=120°，将一个三角尺60°的顶点放在点D上，角的两边分别为DP、DQ
    （1）证明：
    ∵△ABC是等边三角形，
    ∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．
    ∵DB=DC，∠BDC=120°，
    ∴∠DBC=∠DCB=30°．
    ∴∠DBE=∠DBC+∠ABC=90°，
    ∠DCF=∠DCB+∠ACB=90°，
    ∵EF∥BC，
    ∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°．
    ∴AE=AF．
    ∴BE=AB-AE=AC-AF=CF．
    又∵DB=DC，∠DBE=∠DCF，
    ∴△BDE≌△CDF，
    ∴DE=DF∠BDE=∠CDF=30°．
    ∴BE=
    1
    2
    DE=
    1
    2
    DF=CF．
    ∵∠EDF=60°，
    ∴△DEF是等边三角形．
    即DE=DF=EF．
    ∴BE+CF=
    1
    2
    DE+
    1
    2
    DF=EF．精英家教网

    （2）结论仍然成立．
    证明：如图，在AB的延长线上取点F′，使BF′=CF，连接DF′．
    由（1）得，∠DBE=∠DCF=90°
    则∠DBF′=∠DCF=90°，
    又∵BD=CD，
    ∴△DCF≌△DBF’（SAS）
    ∴DF=DF′，∠BDF′=∠CDF，
    又∵∠BDC=120°，∠EDF=60°
    ∴∠EDB+∠CDF=60°
    ∴∠EDB+∠BDF′
    =∠EDF′=∠CDF=60°，又DE=DE，
    ∴△EDF′≌△EDF（SAS）．
    ∴EF=EF′=BE+BF’=BE+CF．

    （3）结论发生变化．EF=CF-BE．
    点评：此题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质；利用等边三角形的性质去探究全等三角形，利用全等三角形的性质解决题目的图形变换规律是非常重要的，要注意掌握．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    21、如图，点D是等边三角形ABC内的一点，将△BDC绕点C顺时针旋转60°，试画出旋转后的三角形，并指出图中的全等图形以及它们的对应顶点、对应边和对应角．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    16、如图，点P是等边三角形ABC内一点，BP=5cm，△PAB绕点B旋转后能与△MCB重合，连接PM，则PM=
    5
    cm．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    21、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
    （1）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
    （2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•清流县质检）星期天，小明在解答下列题目时卡壳了．
    题目1：如图①，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，O为△ABC内的一点，OC=1，OA=
    		3
    ，OB=
    		5
    ．求∠AOC的度数．
    小明去请教小颖正在解答下列题目．
    题目2：如图②，点O是等边三角形ABC内的一点，将△BCO绕C顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．
    （1）试判断△COD的形状，并说明理由；
    （2）当∠COB=150°时，试判断△AOD的形状，并写出OA、OB、OC三者之间的等量关系式．
    小颖说：“等等，等我做完了，我们一起来看．”小明看完，小颖做完后高兴地说：“哈哈，太好了，我会了．”聪明的同学，你能先解答完题目2，再根据解答所得到的启迪来完成题目1吗？写出你的解答过程．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图：点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将线段OC绕点C按顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接OD、AD．
    （1）求证：AD=BO；
    （2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
    （3）探究：当α为多少度时（直接写出答案），△AOD是等腰三角形？

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案