Question

如图，有一条河流，河宽AB=30米，有人在离B点60米处的C点发现河对岸A点处有一小孩掉入水中，这个人马上就去营救，已知这个人在河岸上跑步的速度为6米/秒，在河水中游泳的速度为3米/秒．
（1）这个人能否在19秒内赶到A点？若能，请给出一种方案．
（2）此人最快能在几秒钟内赶到A点？

Answer 1

分析：（1）能赶到，设营救者在河岸上从C点跑到D点，然后从D点游到A点，如取CD=45，DB=15时；
（2）设DB=x，则CD=60-x，求得t与x的关系式，然后令y=2

302+x2

-x，则（y+x）²=（900+x²），根据一元二次方程根的判别式求出y的取值范围，即可求出t的最小值．

解答：解：（1）能赶到，设营救者在河岸上从C点跑到D点，然后从D点游到A点，如取CD=45，DB=15时
t=

45

6

+

15 5

3

=

15

2

+5

5

≈18.7＜19，

（2）设DB=x，则CD=60-x，
∴时间t=

60-x

6

+

900+x2

3

=10+

1

6

（2

302+x2

-x），
令y=2

302+x2

-x，则即3x²-2yx+4×30²-y²=0（2分）（y+x）²应等于4（900+x²）
∴△=（2y）²-4×3×（4×30²-y²）≥0
解得y≥30

3

，
∴t最少为10+

1

6

×30

3

=10+5

3

．

点评：本题主要考查函数最值的知识点，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和列函数关系式的知识，此题有一定的难度．