Question

如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，

DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．
（1）求证：EF⊥AD；
（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，
∴∠EAD=∠DAF．
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴∠DEA=∠DFA=90°
又AD=AD，
∴△DEA≌△DFA．
∴EA=FA
∵ED=FD，
∴AD是EF的垂直平分线．
即AD⊥EF．

（2）∵DE∥AC，
∴∠DEA=∠FAE=90°．
又∠DFA=90°，
∴四边形EAFD是矩形．
由（1）得EA=FA，
∴四边形EAFD是正方形．
∵DE=1，
∴AD=

2

．