Question

已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，分别以AC，AB所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．点 M（m，n）是直线BC上的一个动点，设△MAC的面积为S．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求S关于m的函数解析式；
（3）是否存在点M，使△AMC为等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵BA=AC=4，
∴B（0，4），C（4，0），
∴b=4，k=-1，
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，

（2）∵点M（m，n）是直线BC上的一个动点，
∴S=S_△MAC
=×AC×n
=2n
=2（4-m）
=-2m+8，
∴S=-2m+8，

（3）存在这样的M，
①如图1，当∠ACM为顶角时，则AC=MC，
作MG⊥AB，MH⊥AC，
∵AC=AB=4，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴CM=4，BC=4，
∴BM=4-4，
∵∠ABC=45°，
∴BG=MG，
∴BG=MG=4-2，
∴AG=MH=2，
∴M（4-2，2），

②如图2，当∠ACM为底角时，则MA=MC，
作MF⊥AB，ME⊥AC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴当M点为BC的中点时，MA=MC，
∵AC=AB=4，
∴MF=ME=2，
∴M（2，2），

③如图3，当M点与B点重合时，当∠ACM为底角时，则MA=AC，
∵B（0，4），
∴M（0，4），
④当M在第四象限时，AC=CM=4，过M作MD⊥x轴，连接AM，如图所示：

∵∠BAC=∠MDC=90°，∠ACB=∠DCM，
∴△ACB∽△DCM，
∴=，又AB=AC=4，
∴MD=CD=4×=2，AD=AC+CD=4+2，
∴M₄（4+2，-2），
∴M点的坐标分别为：M₁（2，2），M₂（0，4），M₃（4-2，2），M₄（4+2，-2）．
分析：（1）根据题意，即可推出B，C两点的坐标，根据待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据图形可知，n=4-m，然后根据三角形的面积公式即可推出结果；
（3）分情况进行讨论：
①当∠ACM为顶角时，则AC=MC，作MG⊥AB，MH⊥AC，然后根据等腰直角三角形的性质和特殊角的三角函数即可推出BG=MG=4-2，继而推出AG=MH=2，即M（4-2，2）；
②当∠ACM为底角时，则MA=MC，作MF⊥AB，ME⊥AC，由△ABC为等腰直角三角形，推出当M点为BC的中点时，MA=MC，根据题意即可推出MF=ME=2，即M（2，2）；
③当M点与B点重合时，当∠ACM为底角时，则MA=AC，由B（0，4），可得M（0，4），综上所述，即可推出M点的坐标．
点评：本题主要考查等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定、待定系数法求一次函数解析式，关键在于正确的画出图形，分情况进行讨论分析，用数形结合的思想推出相关的线段的长度，熟练掌握运用相关的性质定理．