Question

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的两个实数根，其满足（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80．求实数a的所有可能值．

Answer 1

解：∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的两个实数根，
∴△≥0，即（3a-1）²-4（2a²-1）=a²-6a+5≥0
所以a≥5或a≤1．…
∴x₁+x₂=-（3a-1），x₁•x₂=2a²-1，
∵（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80，即3（x₁²+x₂²）-10x₁x₂=-80，
∴3（x₁+x₂）²-16x₁x₂=-80，
∴3（3a-1）²-16（2a²-1）=-80，
整理得，5a²+18a-99=0，
∴（5a+33）（a-3）=0，解得a=3或a=-，
当a=3时，△=9-6×3+5=-4＜0，故舍去，
当a=-时，△=（-）²-6×（-）+6=（）²+6×+6＞0，
∴实数a的值为-
分析：根据△的意义由一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a-1）²-4（2a²-1）=a²-6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（3a-1），x₁•x₂=2a²-1，由（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80变形得到3（x₁+x₂）²-16x₁x₂=-80，于是有3（3a-1）²-16（2a²-1）=-80，解方程得到a=3或a=-，然后代入△验算即可得到实数a的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．