Question

国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，环保节能设备的产品供不应求．某公司购进了A、B两种节能产品，其中A种节能产品每件成本比B种节能产品多4万元；若购买相同数量的两种节能产品，A种节能产品要花120万元，B种节能产品要花80万元．已知A、B两种节能产品的每周销售数量y（件）与售价x（万元/件）都满足函数关系y=-x+20（x＞0）．
（1）求两种节能产品的单价；
（2）若A种节能产品的售价比B种节能产品的售价高2万元/件，求这两种节能产品每周的总销售利润w（万元）与A种节能产品售价x（万元/件）之间的函数关系式；并说明A种节能产品的售价为多少时，每周的总销售利润最大？

Answer 1

解：（1）设B种节能产品的单价为m万元，A种节能产品的单价为（m+4）万元，
由题意得：，
解得：m=8
经检验m=8是原方程的解，
则m+4=12．
答：A种节能产品的单价为12万元，B种节能产品的单价为8万元．

（2）A种节能产品售价x（万元/件），则B种节能产品的售价为（x-2）（万元/件），
由题意得，w=（x-12）（-x+20）+（x-2-8）[-（x-2）+20]，
即w=-2x²+64x-460w=-2（x²-32x+230）=-2（x-16）²+52
当x=16时，w取得最大，w_最大为52．
答：每周的总销售利润w（万元）与A种节能产品售价x（万元/件）之间的函数关系式为w=-2（x-16）²+52，当种节能产品的售价为16（万元/件）时，每周的总销售利润最大．
分析：（1）设B种节能产品的单价为m万元，A种节能产品的单价为（m+4）万元，根据购买相同数量的两种节能产品，A种节能产品要花120万元，B种节能产品要花80万元，可得出方程，解出即可；
（2）根据总利润=A种产品的利润+B种产品的利润=A种产品单件利润×销量+B种产品单件利润×销量，可得出w与x的函数关系式，利用配方法求最值即可．
点评：本题考查了二次函数的应用及分式方程的应用，难点在第二问，注意仔细审题得出w与x的函数关系式，熟练掌握配方法求二次函数最值得应用．