Question

如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O。

（1）在图1中，你发现线段AC，BD的数量关系是______，直线AC，BD相交成______度角；
（2）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转90°角，得到图2，这时（1）中的两个结论是否成立？请做出判断并说明理由。
（3）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图3，这时（1）中的两个结论是否成立？请作出判断并说明理由。

Answer 1

解：（1）线段AC，BD的数量关系是相等，直线AC，BD相交成90度角；
（2）（1）中结论仍成立； 证明如下：如图延长CA交BD于点E， ∵等腰直角三角形OAB和OCD， ∴OA=OB，OC=OD， ∵AC2=AO2+CO2，BD2=OD2+OB2， ∴AC=BD； ∴△DOB≌△COA（SSS）， ∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO， ∵∠ACO+∠CAO=90°， ∴∠ACO+∠DBO=90°，则∠AEB=90°， 即直线AC，BD相交成90°角。
（3）结论仍成立；如图延长CA交OD于E，交BD于F， ∵∠COD=∠AOB=90°， ∴∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB，即：∠COA=∠DOB， ∵CO=OD，OA=OB， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC=BD，∠ACO=∠ODB； ∵∠CEO=∠DEF， ∴∠COE=∠EFD=90°， ∴AC⊥BD，即直线AC，BD相交成90°角。