Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=．
（1）如图1，若以点A为圆心、r为半径的⊙A与BC相切于点D，求r．
（2）如图2，若⊙A的半径r=1，点O在BC上运动（点O与B、C不重合），设BO=x，△AOC的面积为y．①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
②如图2，以点O为圆心，BO长为半径作圆，当⊙O与⊙A相切时，求△AOC的面积．

Answer 1

解：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=4，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD=r，AD⊥BC，
∴AD为BC边上的中线，
∴r=AD==2，

（2）①作AD⊥BC于点D，
∵△ABC为等腰直角三角形，BC=4，
∴AD为BC边上的中线，
∴AD==2，
∴S_△AOC=，
∵BO=x，△AOC的面积为y，
∴y=4-x（0＜x＜4），

②过O点作OE⊥AB交AB于E，
∵⊙A的半径为1，OB=x，
当两圆外切时，
∴OA=1+x，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴BE=OE=，
∴在△AEO中，AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，
∴（1+x）²=（2-）²+（）²，
∴x=，
∵△AOC面积=y=4-x，
∴△AOC面积=；
当两圆内切时，
∴OA=x-1，
∵AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，
∴（x-1）²=（2-）²+（）²，
∴x=，
∴△AOC面积=y=4-x=4-=，
∴△AOC面积为或．
分析：（1）由题意即可推出△ABC为等腰直角三角形，AD⊥BC，由AB=AC=2，根据勾股定理即可推出BD=4，即可推出AD=BD=CD=2；
（2）①②圆O与圆A相切是一个特殊位置关系，找出其特点：当两圆外切时，OA=1+x，现有的条件没有办法作的时候，就要自己创建一个：过O点作OE⊥AB交AB于E，根据题意∠B=45°，所以BE=OE=，在△AEO中 AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，推出（1+x）²=（2-）²+（）²，求出x=，由①的结论可知△AOC面积=y=4-x，即可推出△AOC的面积；当两圆内切时，OA=x-1，然后把OA代入到 AO²=AE²+OE²=（AB-BE）²+OE²，即可推出x的值，即可推出△AOC面积．
点评：本题主要考查切线的性质、勾股定理的运用、相切圆的有关性质等知识点，解题关键在于根据题意推出y关于x的函数关系式，在（2）中，求△AOC的面积时，注意分情况进行分析，根据勾股定理，列出关于x的方程，求出x．