Question

如图1，正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点，且满足AF=DE，连接BF、AE，交点为O，
（1）请判断AE与BF的关系，并证明你的结论．
（2）如图2，连接BE、EF，若G、H、P、Q分别是AB、BE、EF、FA的中点，试说明四边形GHPQ是正方形．

Answer 1

解：（1）AE=BF，AE⊥BF．
证明：在△ABF和△DAE中，
∵，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴BF=AE，∠BFA=∠AED，
又∠EAD+∠AED=90°，
∴∠BFA+∠AED=90°，
∴AE⊥BF；
（2）理由：由（1）可知四边形ABEF的对角线互相垂直且相等，
∵GQ为△ABF的中位线，
∴GQ=BF，GQ∥BF，
同理可证PH=BF，PH∥BF，
即PH=GQ，PH∥GQ，四边形PQGH为平行四边形，
易证PQ=AE=BF=PH，∴?PQGH菱形，
∵AE⊥BF，
∴PQ⊥PH，菱形PQGH为正方形．
分析：（1）根据条件证明△ABF≌△DAE，利用全等的性质证明AE=BF，AE⊥BF；
（2）由（1）的结论可知，四边形ABEF的对角线互相垂直且相等，根据三角形中位线的性质可证明四边形GHPQ是正方形．
点评：本题考查了正方形的性质，与判定，全等三角形的判定与性质．关键是利用正方形的性质证明三角形全等，利用性质证明AE与BF的相等与垂直关系．