Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，且CD⊥AB．

　　（1）求证： ；

　　（2）若△ABC为任意三角形，试问：在AB边上（不包括A、B两个顶点）是否仍存在一点D，使 ，若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．

　　

　　

Answer 1

证明：（1）∵CD是Rt△ABC的高线，

　　∴Rt△ABC∽Rt△ACD，

　　∴

　　∴ ．

解：（2）①当∠C>∠B时（如图），存在，使∠1=∠B，则在AB边上点D，使 ．

　　证明：在△ABC和△ACD中，

　　∵   ∠1=∠B，∠A=∠A，

　　∴△ABC∽△ACD，

　　∴ ，  ∴ ．

　　②当∠C<∠B时（如图），满足条件的D点不存在．

　　若存在点D使，（不包括A、B两个顶点），使 ，则 ，

　　又∵∠A=∠A，

　　∴△ABC∽△ACD，

　　∴∠1=∠B，  但∠1 <∠C<∠B．

　　∴满足条件的D点不存在．