Question

已知抛物线y=x²-x+k与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABD是等腰直角三角形，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线与y轴交于点C，点E在y轴的正半轴上，且以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，求点E的坐标．

Answer 1

解：（1）根据题意得：△=1-2k＞0，
∴k＜，
∴k的取值范围是k＜．

（2）设A（x₁，0）、B（x₂，0），则x₁+x₂=2，x₁x₂=2k．
∴AB=|x₁-x₂|==2，
由y=x²-x+k=（x-1）²+k-得顶点D（1，k-），
当△ABD是等腰直角三角形时得；|k-|=2×，
解得k₁=-，k₂=，
∵k＜，
∴k=舍去，
∴所求抛物线的解析式是y=x²-x-．

（3）设E（0，y），则y＞0，
令y=0得x²-x-=0，
∴x₁=-1，x₂=3，∴A（-1，0）、B（3，0），令x=0得：y=-，
∴C（0，-），
（i）当△AOE∽△BOC时得：，∴，解得y=，
∴E₁（0，）；
（ii）当△AOE∽△COB时得：，∴，解得y=2，
∴E₂（0，2），
∴当△AOE和△BOC相似时，E₁（0，）或E₂（0，2）．
分析：（1）利用根的判别式即可判断k的取值范围．
（2）利用两根之和与两根之积公式、等腰直角三角形的性质即可求出k的值．
（3）利用极端假设法分别求出x、y的值，再利用相似三角形的性质进行解答．
点评：本题结合等腰直角三角形的性质考查二次函数的综合应用，解题时要注意以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似的表示方法．