Question

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+k²-3=0的两实根，
（1）求k的取值范围；
（2）若（x₁+1）（x₂+1）=8，求k的值．

Answer 1

解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²-3=0有两实根，
∴△=[-（2k+1）]²-4×1×（k²-3）≥0，
解得：k≥-；

（2）由已知定理得：x₁x₂=k²-3，x₁+x₂=2（k+1）．
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=k²-3+2（k+1）+1=8．
即k²+2k-8=0，
解得：k₁=2，k₂=-4．
∵k≥-，
∴k=-4舍去．
∴k的值为2．
分析：（1）根据关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²-3=0有两实根可得△=b²-4ac≥0，代入数值解不等式即可；
（2）由题意设方程x²-2（k+1）x+k²-3=0两根为x₁，x₂，得x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=k²-3，再根据（x₁+1）（x₂+1）=8，得出k²+2k-8=0，求出k的值即可．
点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，关键是根据已知条件和有关公式列出方程和不等式．