Question

如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是BC的垂直平分线．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）求DE的长．

Answer 1

解：（1）∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，
又∵4²+3²=5²，即AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=BC=×5=，
在Rt△ABC与Rt△DBE中，

∴，即，解得DE=．
分析：（1）直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）根据DE是BC的垂直平分线可得出BD的长及∠BDE=90°，进而可得出Rt△BDE∽Rt△BAC，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出DE的长．
点评：本题考查的是勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质，先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形是解答此题的关键．