Question

如图，抛物线y=ax²+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（1，0）和点C（0，1）在抛物线y=ax²+b上，
∴，解得：a=-1，b=1，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+1，
抛物线的对称轴为y轴，则点B与点A（1，0）关于y轴对称，∴B（-1，0）．

（2）设过点A（1，0），C（0，1）的直线解析式为y=kx+b，可得：
，解得k=-1，b=1，∴y=-x+1．
∵BD∥CA，∴可设直线BD的解析式为y=-x+n，
∵点B（-1，0）在直线BD上，∴0=1+n，得n=-1，
∴直线BD的解析式为：y=-x-1．
将y=-x-1代入抛物线的解析式，得：-x-1=-x²+1，解得：x₁=2，x₂=-1，
∵B点横坐标为-1，则D点横坐标为2，
D点纵坐标为y=-2-1=-3，∴D点坐标为（2，-3）．
如答图①所示，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，AN=1，BN=3，
在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=；
在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=；
又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC=；
∴四边形ABCD的周长为：AC+BC+BD+AD=+++=+．

（3）假设存在这样的点P，则△BPE与△CBD相似有两种情形：
（I）若△BPE∽△BDC，如答图②所示，
则有，即，∴PE=3BE．
设OE=m（m＞0），则E（-m，0），BE=1-m，PE=3BE=3-3m，
∴点P的坐标为（-m，3-3m）．
∵点P在抛物线y=-x²+1上，
∴3-3m=-（-m）²+1，解得m=1或m=2，
当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当m=2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去．
因此，此种情况不存在；
（II）若△EBP∽△BDC，如答图③所示，
则有，即，∴BE=3PE．
设OE=m（m＞0），则E（m，0），BE=1+m，PE=BE=（1+m）=+m，
∴点P的坐标为（m，+m）．
∵点P在抛物线y=-x²+1上，
∴+m=-（m）²+1，解得m=-1或m=，
∵m＞0，故m=1舍去，∴m=，
点P的纵坐标为：+m=+×=，
∴点P的坐标为（，）．
综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似，点P的坐标为（，）．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或令y=0，由解析式得到；
（2）关键是求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度；
（3）本问为存在型问题．可以先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论．
点评：本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、勾股定理等重要知识点．第（2）问的解题要点是求出点D的坐标，第（3）问的解题要点是分类讨论．