Question

已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，，则r的取值范围是________．

Answer 1

0＜r≤1
分析：首先假设CF的长为x，则BF的长为．运用∠A=60°用内切圆半径表示AE的长，进而通过x、r表示出AC、AB的长，并表示出△ABC的面积．再将△ABC的面积用三个小三角形面积的和表示出来．这样就建立起了关于x、r的关系式．将关系式看做关于x的一元二次方程判定r的取值范围．结合实际r的最后取值范围即可确定．
解答：解：方法1：设CF的长为x，则BF的长为．
在Rt△AEO内，AO===2r，AE=AO•cos30°=
∴AC=AG+CG=AE+CF=，AB=AE+BE=
在△ABC中，AB边上的高=AC•sin60°=
S_△ABC=
S_△ABC=S_△ABO+S_△BCO+S_△ACO==
∴=
化简得
∴△=≥0，即3r²-2r-1≤0
解得
结合题意只能是0＜r≤1．
方法2：设AB=x，AC=y，
因为S_△ABC=AB•AC•sinA=（a+b+c）r
代入数据得到r=①
又在直角三角形AEO中，AE=r=（x+y-2）
得到x+y=2（r+1）xy=2y（r+1）-y ²
代入①，整理得到关于y的一元二次方程y²-3（r+1）y+（2r²+4r）=0
因为△≥0
得到r²+2r-3≥0
所以-3≤r≤1
结合题意只能是0＜r≤1．＜R《1
故答案为0＜r≤1．
点评：本题考查三角形内切圆与内心、一元二次方程的应用．本题解题的关键是将求r的取值范围转化为一元二次方程，利用判别式△=b²-4ac求解．