Question

如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   12
4. D.
   

Answer 1

A
分析：分别延长AD、BC，两条延长线相交于点E，构造特殊三角形ABE，其中有一个锐角是60°，∠A是90°，那么另一个锐角是30°，在Rt△CDE中，∠E=30°，有CD=10，可求DE，那么AE的长就求出，在Rt△ABE中，利用∠E的正切值可求出AB，在Rt△ABD中，再利用勾股定理可求斜边BD的长．
解答：解：延长AD、BC，两条延长线相交于点E，
∵在Rt△ABE中，∠A=90°，∠B=60°，
∴∠E=90°-60°=30°．
∴在Rt△DCE中，∠E=30°，CD=10，
∴DE=2CD=20，
∴AE=AD+DE=20+4=24．
∴在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠E=AE•tan30°=×24=8，
∴在Rt△ABD中，
BD====4．
故选A．
点评：关键是作辅助线，构造特殊直角三角形，然后利用了勾股定理、特殊三角函数值解题．