Question

如图所示，△OAB，△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．
（1）如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点．求证：OM⊥BC．
（2）如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转a（a为锐角），M为线段AD的中点．
①线段OM与线段BC是否存在某种确定的数量关系？写出并证明你的结论；
②OM⊥BC是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OC=OD，OA=OB，
∵在△AOD与△BOC中，

∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，
∵点M为线段AD的中点，
∴OM=MD，
∴∠ODM=∠DOM，
∴OM⊥BC；

（2）①OM=BC．
证明：延长AO到F，使FO=AO．连接DF，
则OB=OF，
∵M为AD中点，O为AF中点，
∴MO为△ADF中位线，
∴MO=DF，
∵∠AOB=∠BOF=∠COD=90°，
∴∠COB=∠DOF，
在△COB与△DOF，
，
∴△COB≌△DOF（SAS），
∴DF=BC，
∴MO=BC；
②∵MO为△ADF的中位线，
∴MO∥DF，
∴∠MOA=∠F，
又∵△COB≌△DOF，
∴∠CBO=∠F，
∵∠AOC+∠FOD=90°，
∴∠CBO+∠BOM=90°，
即OM⊥BC．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，可证△AOD≌△BOC，根据全等三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质即可证明OM⊥BC；
（2）①先延长AO到F，使FO=AO．连接DF，由M为AD中点，O为AF中点，得出MO为△ADF中位线，MO=DF，再由∠AOB=∠BOF=∠COD=90°，得出∠COB=∠DOF，根据SAS判断△COB≌△DOF，则DF=BC，所以MO=BC；
②由MO为△ADF中位线，得出MO∥DF，根据平行线的性质得出∠MOA=∠F，再由全等三角形的性质和角之间的关系即可证得结论．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、等腰直角三角形、三角形中位线定理、旋转的性质，此题综合性较强，适用于基础较好的学生．