Question

在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°。
（1）求∠AOC的度数；
（2）若点P为直径BA延长线上一点，当CP与⊙O相切时，求PO 的长；
（3）有一动点M从点A出发，在⊙O上按逆时针方向运动一周（点M与点C不重合），当S_△MAO= S_△CAO时，求动点M所经过的弧长。

Answer 1

解：（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等边三角形
∴∠AOC=60°；
（2）∵CP与⊙O相切，OC是半径，
∴CP⊥OC
∴∠P=90°-∠AOC=30°
∴PO=2CO=8；
（3）由等积三角形的判定方法知，需先确定M的运动位置，再求弧长，
①当点M运动到点C关于直径AB的对称点M₁时，
连结AM₁，OM₁，易得S_△M1AO= S_△CAO，∠AOM₁=60°，
∴弧AM₁=；
 ②当点M运动到点C关于圆心O的对称点M₂时，
连结AM₂，OM₂，易得S_△M2AO= S_△CAO，∠AOM₂=120°，
∴弧AM₂=； 
③当点M运动到点C关于直径AB的对称点M₃时，
连结AM₃，OM₃，易得S_△M3AO= S_△CAO，∠BOM3=60°， 
∴弧AM₂M₃=，
所以，动点M经过的弧长为：，，。