Question

如图，ABCD为正方形，E是BC的中点，CF平分∠DCM，EF⊥AE．(1)猜想线段AE与EF的数量关系，并说明理由．

(2)如图，E是BC上任一点，其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)AE＝EF．取AB中点P，连接PE，在正方形ABCD中，AB＝BC． 　　∵AP＝AB，EC＝BC，∴AP＝EC，∠BPE＝∠FCM＝，∴－∠BPE＝－∠FCM，即∠APE＝∠ECF．∵∠B＝∠AEF＝，∴∠BAE＝－∠AEB，∠CEF＝－∠AEB，∴∠BAE＝∠CEF，∴△APE≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF． 　　(2)上述结论仍成立，即AE＝AF．证明如下：在AB上取BP＝BE，连接PE， 　　∴∠BPE＝∠BEP．∵∠B＝， 　　∴∠BPE＝，∴∠APE＝－∠BPE＝．∵CF平分∠DCM且∠DCM＝，∴∠FCM＝，∴∠ECF＝－∠FCM＝，∴∠APE＝∠ECF．∵∠B＝∠AEF＝，∠BAE＝－∠AEB，∠CEF＝－∠AEB，∴∠BAE＝∠CEF，∵AB＝BC，∴AB－BP＝BC－BE，即AP＝EC，∴△APE≌△ECF，∴AE＝EF．