Question

△ABC的高AD、BE所在的直线交于点M，若BM=AC，求∠ABC的度数．

Answer 1

解：分两种情况考虑：
当∠ABC为锐角时，如图1所示，
∵AD⊥DB，BE⊥AC，
∴∠MDB=∠AEM=90°，
∵∠AME=∠BMD，
∴∠CAD=∠MBD，
在△BMD和△ACD中，
，
∴△BMD≌△ACD（AAS），
∴AD=BD，即△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°；
当∠ABC为钝角时，如图2所示，
∵BD⊥AM，BE⊥AC，
∴∠BDM=∠BEC=90°，
∵∠DBM=∠EBC，
∴∠M=∠C，
在△BMD和△ACD中，
，
∴△BMD≌△ACD（AAS），
∴AD=BD，即△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD=45゜，
则∠ABC=135゜．
分析：分两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，由AD垂直于BC，BE垂直于AC，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，得到∠CAD=∠MBD，根据一对直角相等，再由BM=AC，利用AAS得出三角形BMD与三角形ACD全等，由全等三角形对应边相等得到AD=BD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，可得出∠ABC=45°；当∠ABC为钝角时，如图2所示，同理利用AAS得出三角形ADC与三角形DBM全等，由全等三角形对应边相等得到AD=BD，得出三角形ABD为等腰直角三角形，求出∠ABD=45°，利用邻补角定义即可求出∠ABC=135°．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．