Question

已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A（4，8）．
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；
（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．

Answer 1

解：（1）由题意，可得8=16a-4（a+1）及8=4k，
解得a=1，k=2，
所以，抛物线的解析式为y=x²-2x，直线的解析式为y=2x．

（2）设点P的坐标为（t，2t）（0≤t≤4），可得点Q的坐标为（t，t²-2t），
则PQ=2t-（t²-2t）=4t-t²=-（t-2）²+4，
所以，当t=2时，PQ的长度取得最大值为4．

（3）易知点M的坐标为（1，-1）．过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N，如图所示，四边形AOMN为梯形．直线MN可看成是由直线OA向下平移b个单位得到，所以直线MN的方程为y=2x-b．因为点M在直线y=2x-b上，解得b=3，即直线MN的方程为y=2x-3，将其代入y=x²-2x，可得2x-3=x²-2x
即x²-4x+3=0
解得x₁=1，x₂=3
易得y₁=-1，y₂=3
所以，直线MN与抛物线的交点N的坐标为（3，3）．
如图，分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于点G、H，
显然四边形MNHG是平行四边形．可得点G（1，2），H（3，6）．


S_□MNHG=（3-1）×NH=2×3=6
所以，梯形AOMN的面积S_梯形AOMN=S_△OMG+S_□MNHG+S_△ANH=9．
分析：（1）由待定系数法可得出k和a；
（2）设点P的坐标为（t，2t），则可得点Q的坐标，从而求出PQ，再根据二次函数的最值问题得出最大长度；
（3）易求得点M的坐标，过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N，则四边形AOMN为梯形．由平移的性质可得出直线MN的解析式，再由点M在直线MN上，求得点N的坐标．再用割补法和面积的求法得出答案．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式、直线的解析式，以及梯形和三角形的面积求法．在求有关最值问题时要注意二次函数的顶点．