Question

如图，△ABC的高线AD，BE相交于M，延长AD，交△ABC的外接圆于G，求证：DM=DG．

Answer 1

分析：首先连接BG，由△ABC的高线AD，BE相交于M，根据同角的余角相等，即可证得∠DAC=∠EBC，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得∠GAC=∠GBC，则可得∠EBC=∠GBC，继而根据ASA，即可证得△BDM≌△BDG，则可得证得DM=DG．

解答：证明：连接BG，
∵AD，BE分别是△ABC的高线，
∵∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC，
又∵∠GAC=∠GBC，
∴∠EBC=∠GBC，…（3分）
∵∠BDM=∠BDG=90°，BD=BD，
∴△BDM≌△BDG（ASA），
∴DM=DG．…（6分）

点评：此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，注意同角的余角相等与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．