Question

19．如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．
（1）对角线AC的长是6，菱形ABCD的面积是24；
（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出OE、OF之间的数量关系，不用明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AC与BD相交于点G，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后根据AC=2AG计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解；
（2）连接AO，根据S_△ABD=S_△ABO+S_△ADO列式计算即可得解；
（3）连接AO，根据S_△ABD=S_△ABO-S_△ADO列式整理即可得解．

解答 解：（1）如图，连接AC与BD相交于点G，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×8=4，
由勾股定理得，AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AC=2AG=2×3=6，
菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×6×8=24；
故答案为：6；24；

（2）如图1，连接AO，则S_△ABD=S_△ABO+S_△ADO，
∴$\frac{1}{2}$BD•AG=$\frac{1}{2}$AB•OE+$\frac{1}{2}$AD•OF，
即$\frac{1}{2}$×8×3=$\frac{1}{2}$×5•OE+$\frac{1}{2}$×5•OF，
解得OE+OF=4.8是定值，不变；

（3）如图2，连接AO，则S_△ABD=S_△ABO-S_△ADO，
∴$\frac{1}{2}$BD•AG=$\frac{1}{2}$AB•OE-$\frac{1}{2}$AD•OF，
即$\frac{1}{2}$×8×3=$\frac{1}{2}$×5•OE-$\frac{1}{2}$×5•OF，
解得OE-OF=4.8，是定值，不变，
∴OE+OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为：OE-OF=4.8．

点评 本题考查了菱形的性质，三角形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，第（2）（3）问作辅助线构造出两个三角形是解题的关键．