Question

二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，过（-1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．①abc＜0．②2a+b＞0．③a+c=1④a＞1．正确的是________．

Answer 1

②③④
分析：由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线过（-1，2）和（1，0）得a-b+c=2，a+b+c=0，把两等式进行加或减得到a+c=1，b=-1，则可对③进行判断；由抛物线与y轴交于负半轴得c＜0，于是可对①进行判断；利用a+b+c=0，b=-1且c＜0得到a=1-c＞1，则可对④进行判断．
解答：解：如图，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线过（-1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴，
∴a-b+c=2，a+b+c=0，且c＜0，
∴a+c=1，b=-1，所以③正确；
∴abc＞0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-，且0＜-＜1，
∴2a+b＞0，所以②正确；
∵a+b+c=0，
∴a=-b-c，
而b=-1，c＜0，
∴a=1-c＞1，所以④正确．
故答案为②③④．
点评：本题考查了二次函数与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；b和a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．