Question

如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：AE·FD=AF·EC；
（2）求证：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．

Answer 1

（1）证明：∵BD是⊙O的切线， ∴∠DBA=90°， ∵CH⊥AB， ∴CH∥BD， ∴△AEC∽△AFD， ∴=， ∴AE·FD=AF·EC； （2）证明：∵CH∥BD， ∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF， ∴==， ∵CE=EH（E为CH中点）， ∴BF=DF， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=∠DCB=90°， ∴CF=DF=BF， 即CF=BF； （3）解：∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2， ∴EF=FC， ∴∠FCE=∠FEC， ∵∠AHE=∠CHG=90°， ∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°， ∵∠AEH=∠CEF， ∴∠G=∠FAG， ∴AF=FG， ∵FB⊥AG， ∴AB=BG， 连接OC，BC， ∵BF切⊙O于B， ∴∠FBC=∠CAB， ∵OC=OA，CF=BF， ∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC， ∴∠FCB=∠CAB， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠BCO=90°， ∴∠FCB+∠BCO=90°，即OC⊥CG， ∴CG是⊙O切线， ∵GBA是⊙O割线， FB=FE=2， 由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2， 在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2， ∴FG2﹣4FG﹣12=0， 解得：FG=6，FG=﹣2（舍去）， 由勾股定理得：AG=BG==4， ∴⊙O的半径是2．