Question

如图，A是半径为6cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以πcm/s的速度沿圆周按顺时针方向运动，当点P回到A时立即停止运动．设点P运动时间为t（s）
（1）当t=6s时，∠POA的度数是______；
（2）当t为多少时，∠POA=120°；
（3）如果点B是OA延长线上的一点，且AB=AO，问t为多少时，△POB为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

解：（1）设∠POA=n°，则
=6π=，
∴n=180．
即∠POA的度数是180．
故答案为180；

（2）当∠POA=120°时，如图，点P运动的路程为⊙O周长的（图中P₁处）或（图中P₂处），
设点P运动的时间为ts．
当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，
解得t=4；
当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，
解得t=8；
∴当点P运动的时间t为4s或8s时，∠POA=120°；

（3）分两种情况：
①当∠POB=90°时，如图，点P运动的路程为⊙O周长的（图中P₁处）或（图中P₂处），
设点P运动的时间为ts．
当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，
解得t=3；
当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，
解得t=9．
∴当点P运动的时间为3s或9s时，△POB为直角三角形；
②当∠OPB=90°时，如图，（图中P₃处）或（图中P₄处），
设点P运动的时间为ts．
当点P运动P₃处时，连接AP₃．
∵∠OP₃B=90°，OA=AB，
∴AP₃=OA=OP₃，
∴△OAP₃是等边三角形，
∴∠AOP₃=60°，
∴π•t=•2π•6，
解得t=2；
当点P运动P₄处时，连接AP₄．
∵∠OP₄B=90°，OA=AB，
∴AP₄=OA=OP₄，
∴△OAP₄是等边三角形，
∴∠AOP₄=60°，
∴π•t=（1-）•2π•6，
解得t=10．
∴当点P运动的时间为2s或10s时，△POB为直角三角形．
综上可知，当点P运动的时间为2s或3s或9s或10s时，△POB为直角三角形．
分析：（1）先根据路程=速度×时间得出当t=6s时，点P运动的路程即的长度，再根据弧长公式即可求出∠POA的度数；
（2）当∠POA=120°时，点P运动的路程为⊙O周长的或，所以分两种情况进行分析；
（3）△POB为直角三角形时，由于动点P沿圆周运动，所以以B为顶点的角不可能为直角，那么分∠POB=90°，∠OPB=90°两种情况进行分析．
点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质等知识，综合性较强，难度中等．进行分类讨论是解题的关键，本题容易漏解．