Question

如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线  ( 为常数，且≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．  
（1）求的值及抛物线的函数表达式；  
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；  
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 ，两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程．

Answer 1

解：（1）∵经过点（﹣3，0）， ∴0=+m，解得m=， ∴直线解析式为，C（0，）． ∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0）， ∴另一交点为B（5，0）， 设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5）， ∵抛物线经过C（0，）， ∴=a3（﹣5），解得a=， ∴抛物线解析式为y=x2+x+； （2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则AC∥EF且AC=EF． 如答图1， （i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G， ∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG， 又∵， ∴△CAO≌△EFG， ∴EG=CO=，即yE=， ∴=xE2+xE+，解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去）， ∴E（2，），SACEF=； （ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′， 同理可求得E′（+1，）， SACE′F′=． （3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可． 如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短， 可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）． ∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+， ∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）． 令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k， ∵y=kx+3﹣k，y=x2+x+， 联立化简得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0， ∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3． ∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）． 根据两点间距离公式得到： M1M2=== ∴M1M2===4（1+k2）． 又M1P===； 同理M2P= ∴M1PM2P=（1+k2）=（1+k2）=（1+k2）=4（1+k2）． ∴M1PM2P=M1M2， ∴=1为定值．