Question

如图，在△ABC中，∠B=60°．
（1）请你用直尺和圆规分别作出∠BAC和∠BCA的平分线AD和CE，分别交BC和AB于点D、E，AD与CE相交于点F．
（2）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系，然后证明关系成立．

Answer 1

解：（1）如图：

（2）FE与FD之间的数量关系为FE=FD，
证明如下：
过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，
∵∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴FG=FH，
∠2+∠3=60°，
∴∠GEF=60°+∠1，
又∠HDF=∠B+∠1
=60°+∠1
∴∠GEF=∠HDF
∴△EGF≌△DHF
∴FE=FD．

证法二：如图，在AC上截取AG=AE，连接FG
∵∠1=∠2
AF=AF，
∴△AEF≌△AGF
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG
由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
可得∠2+∠3=60°
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°
∴∠CFG=60°
∵∠3=∠4，FC=FC，
∴△CFG≌△CFD
∴FG=FD
∴FE=FD
分析：（1）用基本作图中的“作角的平分线”即可．（注意：作图，必须用圆规）．
（2）有两种证法：①过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H根据题意可证明∴△EGF≌△DHF
故FE=FD；②在AC上截取AG=AE，连接FG，根据题意可证△AEF≌△AGF，从而可得FG=FD即FE=FD．
点评：本题考查三角形全等的判定和方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
本题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形，才好解，有点难度．