Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为E（1，0），与y轴的交点坐标为（0，1）．
（1）求该抛物线的函数关系式．
（2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥x轴交抛物线于D，过B作BC⊥x轴交抛物线于C．设A点的坐标为（t，0），四边形ABCD的面积为S．
①求S与t之间的函数关系式．
②求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？
③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，把点（0，1）代入抛物线有：1=a（0-1）²，得：a=1．
所以抛物线的解析式为：y=（x-1）²．

（2）①∵A（t，0），AB=4，且A在B的左边，∴B（t+4，0），
当x=t时，y=（t-1）²=t²-2t+1，∴D（t，t²-2t+1）．
当x=t+4时，y=（t+4-1）²=t²+6t+9，∴C（t+4，t²+6t+9）．
∵四边形ABCD是直角梯形，
∴S=（AD+BC）×AB=（t²-2t+1+t²+6t+9）×4=4t²+8t+20．
所以：S=4t²+8t+20．
②当t=-=-1时，四边形ABCD的面积最小，
此时，AB=4，AD=t²-2t+1=4，BC=t²+6t+9=4，且∠BAD=∠ABC=90°，
所以ABCD是正方形．
③因为ABCD是正方形，所以点A点C关于BD对称，直线CE与BD的交点就是点P．
此时：A（-1，0），B（3，0），C（3，4），D（-1，4），E（1，0）．
可以求出直线CE的解析式：y=2x-2．
BD的解析式：y=-x+3．
联立得：，∴
所以点P的坐标为（，）
此时△PAE的周长=CE+AE=+2=2+2．
分析：（1）先设抛物线的顶点式，然后把点（0，1）代入抛物线，可以求出抛物线的解析式．（2）①因为点A的坐标为（t，0），AB=4，所以点B的坐标为（t+4，0），分别把A，B两点的坐标代入抛物线得到C，D两点的坐标，得到线段AD和BC的长，可以用含t的式子表示直角梯形ABCD的面积．②根据①得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质，可以求出面积最小时t的值，并确定此时四边形的形状．③当四边形ABCD的面积最小时，ABCD是正方形，点A点C关于BD对称，根据两点之间线段最短，得到CE与BD的交点就是点P，然后求出△PAE的周长．
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用顶点式求出抛物线的解析式．（2）①结合二次函数的图形，理解四边形ABCD是直角梯形，利用梯形的面积公式求出S关于t的函数．②利用①中求出的二次函数的性质，得到四边形面积最小时t的值，并确定ABCD的形状．③利用②的结论得到A，B，C，D的坐标，再根据两点之间线段最短，求出点P的坐标和△PAE的周长．