Question

课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．

设旋转角∠A₁A₀B₁＝α(α＜∠A₁A₀A₂)，₃，₄，₅，₆所表示的角如图所示．

(1)用含α的式子表示角的度数：₃＝________，₄＝________，₅＝________；

(2)图4中，连接A₀H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A₀H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中一个图给出证明；若不存在，请说明理由；

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)60°－α，α，36°－α　　3分 　　说明：每写对一个给1分 　　(2)存在下面就所选图形的不同分别给出证明： 　　下图中有直线AoH垂直平分A2B1，证明如下： 　　方法一： 　　∵△A0A1A2与△A0B1B2是全等的等边三角形， 　　∴A0A2＝A0B1， 　　∴∠A0A2B1＝∠A0B1A2 　　又∵∠A0A2H＝∠A0B1H＝60° 　　∴∠HA2B1＝∠HB1A2 　　∴A2H＝B1H 　　∴点H在线段A2B1的垂直平分线上 　　又∵A0B1，∴点A0在线段A2B1的垂直平分线上 　　∴直线A0H垂直平分A2B1　　8分 　　方法二： 　　证明：∵△A0A1A2与△A0B1B2是全等的等边三角形， 　　∴A0A2＝A0B1， 　　∴∠A0A2B1＝∠A0B1B2 　　又∠A0A2H＝∠A0B1H 　　∴∠HA2B1＝∠HB1A2 　　∴HA2＝HB2 　　在△A0A2H与△A0B1H中 　　∵A0A2＝A0B1，HA2＝HB1，∠A0A2H＝∠A0B1H 　　∴△A0A2H≌△A0B1H 　　∴∠A2A0H＝∠B1A0H 　　∴A0H是等腰三角形A2A0B1的顶角平分线 　　∴直线A0H垂直平分A2B1　　8分 　　下图中有直线A0H垂直平分A2B2，证明如下： 　　∵A0B2＝A0A2 　　∴∠A0B2A2＝∠A0A2B2 　　又∵∠A0B2B2＝∠A0A2A3＝45°， 　　∴∠HB2A2＝∠HA2B2 　　∴HB2＝HA2 　　∴点H在线段A2B2的垂直平分线上 　　又∵A0B2＝A0A2，∴点A0在线段A2B2的垂直平分线上 　　∴直线A0H垂直平分A2B2　　8分 　　说明：(ⅰ)在图2中选用方法二证明的，参照上面的方法二给分； 　　(ⅱ)选择图3或图4给予证明的，参照上述证明过程评分 　　(3)当n为奇数时，ｎ＝， 　　当ｎ为偶数时，ｎ＝α　　10分 　　(4)存在当ｎ为奇数时，直线A0H垂直平分， 　　当n为偶数时，直线A0H垂直平分　　12分