Question

9．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACD平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
（3）若能使四边形AECF为正方形，则原△ABC的形状如何？并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，得出EO=CO，FO=CO，即可得出结论；
（2）先证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；
（3）由正方形的性质得出∠ACE=45°，得出∠ACB=2∠ACE=90°即可．

解答 （1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，
即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
（3）解：四边形AECF是正方形时；理由如下：
若四边形AECF是正方形，
则∠ACE=45°，
∴∠ACB=2∠ACE=90°，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的性质；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．