Question

如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC，CD⊥AB，垂足是D，△BCE与△BCD是关于BC成轴对称的，且恰好使A、C、E在一条直线上．求四边形BDCE的面积．

Answer 1

解：解法1：∵AC=BC，CD⊥AB于D，
∴∠A=∠CBA，∠ACD=∠BCD，AD=BD=1，
根据已知条件有Rt△BCD≌Rt△BCE，
∴∠BCD=∠BCE，
∴∠ACD=∠BCD=∠BCE，
而A、C、E在一条直线上，
∴∠ACD+∠BCD+∠BCE=180°，
∴∠ACD=∠BCD=∠BCE=60°，
进而∠A=30°，
于是在Rt△ACD中，AC=2CD，AC²=CD²+AD²，
∴4CD²=CD²+1，CD=，
因此四边形BDCE的面积=2S_△BCD=2••BD•CD=；

解法2：由对称性可知△CDB≌△CEB，
又AC=CB，CD⊥AB，
∴△ACD≌△CDB，
故S_{四边形BDCE}=S_△ABE，
∵Rt△ABE中，BE=BD=1，AB=2，
∴∠A=30°，AE=，
因此S_△ABE=××1=，即S_{四边形BDCE}=．
分析：解法1：根据AC=BC，可知∠ACD=∠BCD，由△BCE与△BCD是关于BC成轴对称的，且A、C、E在一条直线上，可将∠ACD求出．在Rt△ACD中，可将CD的长求出，进而可求出△BCD的面积，根据四边形BDCE的面积为2S_△BCD，可将四边形BDCE的面积求出；
解法2：由题意可知△CDB≌△CEB≌△ACD，可得∠A=30°，从而可将△ABE的面积求出，根据S_△BDCE=S_△ABE，从而可将四边形BDCE的面积求出．
点评：此题考查轴对称的基本性质，在解题过程中要注意一题多解．此题考查的计算技巧性很强，要注意对一些特殊三角形函数的应用．