Question

如图：矩形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，A、D在抛物线y=-x²+x上，矩形的顶点均为动点，且矩形在抛物线与x轴围成的区域里．
（1）设A点的坐标为（x，y），试求矩形周长p关于变量x的函数表达式；
（2）是否存在这样的矩形，它的周长为9，试证明你的结论．

Answer 1

解：（1）令-x²+x=0
得：x₁=0，x₂=4．
则抛物线与坐标轴两交点的坐标为O（0，0）、E（4，0）
设OB=x，由抛物线的对称性可知EC=x，则BC=4-2x．
P=2（4-2x+y）=2（4-2x-x²+x）
P=-x²+x+8

（2）不存在．
若存在周长为9的矩形ABCD，则-x²+x+8=9
①4x²-4x+3=0，△=16-48＜0
方程①无实数根，即不存在这样的矩形．
分析：（1）根据抛物线的解析式令y=0，可求出抛物线与x轴两交点的坐标，因为A点的坐标为（x，y），则B点坐标为（x，0），即OB=x，由抛物线的对称性可知EC=x，则BC=4-2x，再根据矩形的面积公式可求出矩形周长p关于变量x的函数表达式；
（2）先假设符合条件的矩形存在，把9代入（1）所求的矩形周长公式，根据一元二次方程判别式的情况判断出方程解的情况即可判断P是否存在．
点评：本题综合考查了二次函数图象上点的坐标特点及一元二次方程的解与△的关系，比较简单．