Question

恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50 km，A、B到直线X的距离分别为10 km和40 km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图(1)是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P)，P到A、B的距离之和S₁＝PA＋PB；图(2)是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是，连接B交直线X于点P)，P到A、B的距离之和S₂＝PA＋PB．

(1)求S₁、S₂，并比较它们的大小．

(2)请你说明S₂＝PA＋PB的值为最小．

(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30 km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)图(1)中过B作BC⊥AP，垂足为C，则PC＝40，又AP＝10， 　　 　　(2)如图(2)，在公路上任找一点M，连接MA，MB，M，由轴对称知MA＝M 　　∴MB＋MA＝MB＋M＞B 　　∴S2＝B为最小　　7分 　　(3)过A作关于X轴的对称点，过B作关于Y轴的对称点， 　　连接，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求　　8分 　　过、分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，