Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，弦AC∥OD，BD切⊙O于B，连接CD，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC=2，OD=6，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OC．
∵OD∥AC（已知），
∴∠COD=∠ACO（两直线平行，内错角相等），∠CAO=∠DOB（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠ACO=∠CAO（等边对等角），
∴∠COD=∠DOB（等量代换）；
∵OD=OD，OC=OB，
∴△COD≌△BOD（SAS）
∴∠OCD=∠OBD（全等三角形的对应角相等）；
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，即CD是⊙O的切线；

（2）解：连接BC交OD于E．
∵CD和BD都是⊙O的切线，
∴CD=BD，∠CDO=∠BDO；
∴BC⊥OD，BE=CE，∠OBD=90°
∴△OBE∽△ODB
∴OB：OD=OE：OB （相似三角形的对应边成比例）；
由BE=CE，OA=OB，
得OE为△ABC的中位线，
即OE=AC=1，
∴OB：6=1：OB 得OB=± （舍负）
∴⊙O的半径为．
分析：（1）连接OC．欲证CD是⊙O的切线，只需证明OC⊥CD即可；
（2）连接BC交OD于E，先证明△OBE∽△ODB或△ABC∽△ODB，再根据相似三角形的性质及中位线的性质，即可求出⊙O的半径．
点评：本题考查了切线的判定与性质．在解答（2）时，注意三角形中位线定义的运用．