Question

如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心．求证：
（1）OI是△IBD的外接圆的切线；
（2）AB+AD=2BD．

Answer 1

解：（1）∵∠CID=∠IAD+∠IDA，∠CDI=∠CDB+∠BDI=∠BAC+∠IDA=∠IAD+∠IDA
∴∠CID=∠CDI，
∴CI=CD．
同理，CI=CB．
故点C是△IBD的外心．
连接OA，OC，
∵I是AC的中点，且OA=OC，
∴OI⊥AC，即OI⊥CI．
∴OI是△IBD外接圆的切线．
（2）由（1）可得：
∵AC的中点I是△ABD的内心，
∴∠BAC=∠CAD
∴∠BDC=∠DAC=∠BAC，
又∵∠ACD=∠DCF，
∴△ADC∽△DFC，
∴=，
∵AC=2CI
∴AC=2CD
∴AD=2DF
同理可得：AB=2BF
∴AB+AD=2BF+2DF=2BD．
分析：（1）根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质，以及等角对等边即可证得C是△IBD的外心，然后证得OI⊥CI，即可证得OI是△IBD的外接圆的切线；
（2）根据（1）可以得到AI=CD，AB=2BF，即可证得．
点评：本题考查了圆的切线的证明，以及三角形的内心的计算，证得C是△IBD的外心是关键．