Question

当a在什么范围内取值时，方程|x²-5x|=a有且只有相异实数根？

Answer 1

解：∵方程|x²-5x|=a有且只有相异实数根，
∴a≥0，①
当a=0时，x²-5x=0，解得x₁=0，x₂=5，方程有相异实数根
当a＞0时，
原方程化为：x²-5x+a=0或x²-5x-a=0；
∵方程x²-5x-a=0的△=5²-4×（-a）=25+4a＞0，解得a＞-②；
∴此方程总有相异实数根，
而方程|x²-5x|=a有且只有相异实数根，
∴方程x²-5x+a=0没实数根，
∴△′＜0，即△′=5²-4a=25-4a＜0，解得a＞③；
由①②③可得a的取值范围为a＞或a=0．
分析：先可得到a≥0，当a=0时，x²-5x=0，解得x₁=0，x₂=5，方程有相异实数根；当a＞0时，去绝对值方程化为：x²-5x+a=0或x²-5x-a=0；对于方程x²-5x-a=0，可得△=5²-4×（-a）=25+4a＞0，总有相异实数根，则对方程x²-5x+a=0应该没实数根，才能满足条件，所以△′＜0，即△′=5²-4a=25-4a＜0，最后确定a的取值范围．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．