Question

已知：二次函数y=ax²-（b-1）x-3a的图象经过点P（4，10），交x轴于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（x₁＜x₂），交y轴负半轴于C点，且满足3OA=OB．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO＞∠ACO？若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．

Answer 1

解：（1）∵P（4，10）在图象上，
∴16a-4（b-1）-3a=10①；
∵图象交y轴负半轴于C，
∴-3a＜0，
∴a＞0，x₁x₂==-3＜0，
∴x₁＜0，x₂＞0，x₂=-3x₁
x₁+x₂=x₁+（-3x₁）=-2x₁=-，x₁x₂=-3x₁²=-3，
∴x₁²=1，又x₁＜0，
∴x₁=-1，
∴x₂=3，
∴b-1=2a②，
联立①②解得：a=2，b=5，
∴y=2x²-4x-6；

（2）存在点M，使∠MCO＞∠ACO，A点关于y轴对称点A′（1，0），
设直线A′C为y=kx+b，由于直线A′C过（1，0），（0，-6），则有：
，
解得．
∴y=6x-6，联立抛物线的解析式有：
，
解得，
即直线A′C与抛物线交点为（0，-6），（5，24），
当y=-6时，即2x²-4x-6=-6，
解得：x₁=0，x₂=2，
∵∠MCO是锐角，
∴符合题意的x的取值范围是-1＜x＜0或2＜x＜5．
分析：（1）根据韦达定理和3OA=OB可得出一个关于a、b的等量关系式，将P点坐标代入抛物线中可得出另一个a、b的关系式，联立两个式子即可求出待定系数的值，也就得出了抛物线的解析式；
（2）如图，取A点关于y轴的对称点，那么∠A′CO=∠ACO，如果设直线A′C与抛物线的交点为N点话，那么如果使∠MCO＞∠A′CO，那么必须满足的条件为M的横坐标在A的横坐标与N的横坐标之间，据此可求出M横坐标的取值范围（M的横坐标不能为0，否则构不成锐角∠MCO）．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、韦达定理的应用、轴对称图形、函数图象交点等知识．