Question

如图，在△ABC中，AD=3，AB=4
（1）如AC=2

3

，求证：△ACD∽△ABC；
（2）如∠ABC=∠ACD，求AC．

Answer 1

分析：（1）由：∵AD=3，AB=4，AC=2

3

，即可得

AD

AC

=

AC

AB

，又由∠A是公共角，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△ACD∽△ABC；
（2）由∠ABC=∠ACD，∠A是公共角，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△ACD∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AC的长．

解答：（1）证明：∵AD=3，AB=4，AC=2

3

，
∴

AD

AC

=

AC

AB

=

3

2

，
∵∠A是公共角，
∴△ACD∽△ABC；

（2）解：∵∠ABC=∠ACD，∠A是公共角，
∴△ACD∽△ABC，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∵AD=3，AB=4，
即

3

AC

=

AC

4

，
解得：AC=2

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．